Inhalt: Einführung

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Zwei Begriffe der Funktionenlehre, die beim Thema Differenzialrechnung eine wichtige Rolle spielen: Stetigkeit und Differenzierbarkeit werden in diesem Video anhand abschnittsweise definierter Funktionen erklärt.

 Arbeitsauftrag

  • Betrachte das Video und fasse in eigenen Worten zusammen, was man unter Stetigkeit einer Funktion und Differenzierbarkeit einer Funktion versteht!
  • Zeichne mit Bleistift und Papier abschnittweise definierte Funktionen (ohne Funktionsterm), ähnlich wie im Video. Wähle dabei Funktionsteile so, dass stetige und nicht stetige, differenzierbare und nicht differenzierbare Funktionen entstehen!

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Inhalt: Einführung

Die Tangentensteigungs-Funktion (3/3)

Der dritte meiner Beiträge zur Einführung in die Differentialrechnung zeigt (endlich!), wie man den Term der Tangentensteigungsfunktion berechnen kann. Anhand der Funktion f(x) = x² wird mit Hilfe der Limes-Rechnung der Term berechnet. Eingeleitet wird das Video mit der Näherung der Sekante  zur Tangente.

Varianten der quadratischen Funktion und kubische Funktionen kann man nach dem gleichen Schema berechnen, alle anderen Funktionstypen setzen bereits zu große Kenntnisse der Limes-Rechnung voraus, um im Rahmen der Schulmathematik berechnet zu werden. Das macht nichts: Anhand dieser relativ einfachen Beispiele verstehen wir das Prinzip und das genügt, da wir beim Suchen der Tangentensteigungsfunktion sowie nach den Ableitungsregeln vorgehen.

Anmerkung: In der mathematischen Begrifflichkeit spricht man eigentlich nicht von „Tangentensteigungsfunktion„, sondern von „erster Ableitung„. Ich verwende diesen Begriff trotzdem, um bei jeder Erwähnung in Erinnerung zu rufen, was diese Funktion meint. Im weiteren Verlauf der Differentialrechnung nennen wir diese Funktion f'(x) und erste Ableitung.

Video 1: Visualisierung: Sekante und Tangente

Vidoe 2: Sekante, Tangente und Limes

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Inhalt: Einführung

Die Tangentensteigungs-Funktion (2/3)

Nachdem wir im vorherigen Video gesehen haben, wie die Tangentensteigungsfunktion t(x) entsteht, beobachten wir in diesem Video, wie die Funktionsterme zwischen f(x) und t(x) zusammenhängen. Der Term der Tangentensteigungsfunktion lässt sich von f(x) ableiten. Die Funktion t(x) wird daher auch Ableitung von f(x) genannt.

Das erste Video zeigt diesen Zusammenhang intuitiv anhand quadratischer Potenzfunktionen f(x) = k*x², das zweite Video anhand kubischer Funktionen f(x) = k*x³.

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Inhalt: Einführung

Die Tangentensteigungs-Funktion (1/3)

Dieses Video ist als Einführung in die Differentialrechnung gedacht. Ohne Vorkenntnisse von Limes, Differenzen- oder Differentialquotient wird hier versucht, das intuitive Verständnis der Grundlagen der Differentialrechnung zu erleichtern.

Im Video beobachten wir anhand der Funktion f(x) = x² und einem Punkt P auf der Funktion die Tangente und ihre Steigung. Wir verschieben den Punkt an der Funktion entlang und sehen, wie sich die Steigung der Tangente verändert. Wenn wir die einzelnen Steigungen beim jeweiligen x-Wert des Punktes P als y-Wert einzeichnen, erkennen wir, dass diese y-Werte auf einer Funktion liegen, der „Tangentensteigungsfunktion“.

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Inhalt: Einführung

Newton-Verfahren

In diesem Video wird das näherungsweise Lösen von Gleichungen anhand des Newton-Verfahrens besprochen. Die Lösung einer Gleichung der Form y=f(x)=0 wird mit Hilfe eines Startwertes x_0, der nahe bei der tatsächlichen Nullstelle liegen soll, und mehrerer Tangenten (daher auch die Bezeichnung Tangentenverfahren) schrittweise immer genauer bestimmt (Iterationsfolge).

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